初识CPS方法的连续动态建模

信息物理融合系统（CPS）是对计算进程与物理进程进行集成所形成的综合系统，其行为由系统的信息部分及物理部分共同定义。嵌入式系统中的计算机与网络监测并控制物理进程，且在通常情况下这些物理进程与计算进程在反馈环路中相互影响。使用CPS方法设计嵌入式系统的过程有三个主要部分，即建模、设计与分析，如下图1。

▲图1 创建嵌入式系统需要一个建模、设计和分析的迭代过程

其中，建模是通过模拟来加深对系统的理解的过程。模型模拟了系统并反映出系统的特性。模型指明了系统能做什么。设计是对嵌入式系统的机构化创建，制定系统如何执行其功能。分析是通过剖析来深入理解系统的过程，指定了系统为什么这样运行。

如图1所示，这个过程的三个部分是有所重叠的，其中，设计过程在这三个部分中不断迭代。通常情况下，该过程从建模开始，其目标是理解问题并设计解决策略。

连续动态模型是模型中较为简单的一种，我们今天就通过物体六个自由度的建模示例来简单了解一下使用CPS方法对连续动态模型建模。

为了研究物理系统的动态性，我们需要先回顾一些经典力学的原理。首先我们从简单的运动方程着手，该方程以常微分方程(未知函数只含有一个自变量的微分方程)的形式提供了系统的模型。

物理对象的空间运动可以表示为六个自由度，如图2所示。

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图2 飞行器的6个自由度建模(空间位置以及滚转角、偏航角和俯仰角)

其中，三个代表三维空间中的位置，另外三个代表空间中的方向。假设有三个轴x、y和z，其中，x轴的绘制递增向左上角，y轴递增向右，z轴递增向下。滚转角(roll)是绕x轴旋转的角度，0弧度表示沿着z轴方向保持水平（即该角度是相对于z轴给出的）。偏航角（yaw）是绕y轴旋转的角度，0弧度表示直接指向下方（即相对于x轴给出的角度）。俯仰角（pitch）是绕z轴的旋转角度，0弧度通常代表水平指向（即相对于x轴给出的角度）。

由此，物体的空间位置就被表示为形如f:R->R的6个函数，其中R表示为实数，定义域(前面的R)表示时间，到达域（后面的R，区别于值域，函数的值域是到达域的子集）表示某个轴上的距离或与该轴的夹角。该类形式的函数被称为时间连续信号，常常被包含在向量值函数x:R -> R³和θ:R -> R³中，其中x和θ分别代表位置与方向。

位置和方向的改变符合牛顿第二定律，该定律中力与加速度相互关联。加速度是位置的二阶导数。我们的第一个公式即公式（1），用于处理位置信息。其中，F是三个方向的力向量，M是物体的质量，x''是x对事件的二阶导数（即加速度）。

速度是加速度的积分，由以下方程给出。其中，x''(0)是三个方向的初始速度。

基于公式1，该方程可进一步演化为如下形式：

位置是速度的积分，

其中，x(0)是初始位置。基于这些方程，如果已知物体的初始位置、初始速度以及施加在物体上的三个方向的作用力（时间的函数），就可以确定物体在任意时刻的加速度、速度以及位置。

这些作用于方向的运动方程使用了转矩，即旋转形式的作用力。这又是一个作为时间函数的三元素向量，代表了作用在物体上的净旋转力。它与角速度相关，形式类似于公式1.

其中，T是三个轴上的转矩向量，I(t)是物体的转动惯量张量。转动惯量是一个3X3矩阵，其取决于物体的集合形状和方向。如果物体是个球形的，那么这个惯性在所有轴上都是相同的，因此，其将归纳为一个常标量I，此时，该方程将与公式1非常相似，如式3所示。

旋转速度是加速度的积分，如下公式所示。其中，θ'(0)即三个轴的初始旋转速度。

如果将物体看作是球形，那么使用公式（3）可以得到以下方程。

方向则是旋转速度的积分，可由以下方程计算。

其中，θ'(0)是初始方向。

如果已知物体的初始方向、初始旋转速度，以及作用在物体三个轴上的转矩是一个时间函数，使用这些方程就能随时确定物体的旋转加速度、速度以及方向。

以上就是对连续动态物体进行简单建模的过程，此方法可以得到三维物体的加速度、速度、位置、旋转加速度和方向等信息，如果物体是在平面上移动的车辆，那么可以不考虑y轴方向的运动，车辆的运动方程也可以使用此方法进行简单的建模。

使用ModelCoder对式(6)进行建模，通过模型观察连续动态模型的变化：

假设参数I为1，θ(0)初始方向 = 1，方程由三部分构成：

因此，我们分别对这三部分进行建模，

第一部分，由于θ(0) = 1，我们直接使用Constant模块进行输出即可：

第二部分，这是初始方向微分与时间的乘积，假设初始方向的导函数的结果是1，用Constans模块表示，与Clock模块相乘。

对于T(α)，我们知道它是一个随时间变化而变化的值，我们使用斜率为1的Ramp模块来表示，对其进行两次积分，并乘以系数1/I=1，第三部分建模如下：

最后将方程的三部分用加法器组合在一起，搭建如下模型。

对此模型进行仿真，得到的结果如下图：

通过模型仿真，我们可以看到，模型在开始之初变化不大，但是随着时间的推移，施加在某个方向上的转矩T(α)越大，物体旋转的速度也越快。

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